이번 글에서는 푸아송 분포를 사용해 축구 경기의 결과가 어떤 확률에 가장 가까운지 알아내는 방법을 소개하겠습니다. 이 방법을 사용하면 축구 경기의 점수 예측과 가장 확률이 높은 최종 점수에 배당률을 대입하는 방법을 알 수 있습니다.
푸아송 분포 계산 방법
푸아송 분포는 평균을 전체 분포에 걸친 다양한 결과의 확률로 변환하는 수학적인 개념입니다. 예를 들어, Manchester City는 경기 당 평균 1.7골을 기록한다고 가정했을 때, 푸아송 분포 공식에 입력하면 Manchester City의 평균 득점 확률은 0골일 확률이 18.3%, 1골일 확률이 31%, 2골일 확률이 26.4%, 3골일 확률이 15%로 계산됩니다.
조금 더 디테일하게 축구 경기에 대한 값을 알기 위해서는 경기가 예정된 각 팀의 일명 ‘공격력’과 ‘방어력’ 을 구하고 대입하여 해당 경기가 몇 대 몇이 되는 것이 가장 확률이 높은지 알 수 있습니다.
공격력과 방어력을 계산 하는 방법
공격력과 방어력을 계산할 때 확률을 잘 반영할 수 있는 데이터 범위를 선택하는 것이 중요합니다. 범위가 너무 넓은 경우 데이터가 팀의 현재 능력을 잘 나타내지 못할 수 있고, 범위가 너무 작으면 데이터에 신빙성이 없기 때문입니다. 예를 들어 EPL은 한 시즌에 각 팀은 38경기에 출전하고, 푸아송 분포를 적용하기에 충분한 데이터라고 볼 수 있습니다.
공격력 계산 방법
지난 시즌의 결과를 토대로 공격력을 계산하려면 먼저 각 팀의 홈 및 원정 경기 당 득점한 평균 골 수를 알아야 합니다.
지난 시즌 득점한 총 골 수를 출전한 경기 수로 나누어 계산합니다.
- 시즌 중 홈 경기에서 득점한 총 골/경기 수(시즌)
- 시즌 중 원정 경기에서 득점한 총 골/경기 수(시즌)
영국 프리미어 리그 2015/2016 시즌에서 홈 경기는 567/380, 원정 경기는 459/380이며 경기 당 평균 골 수는 홈 경기가 1.492, 원정 경기 1.207을 기록했습니다.
- 홈 경기에서 득점한 평균 골 수: 1.492
- 원정 경기에서 득점한 평균 골 수: 1.207
팀의 평균과 리그 평균 비율이 팀의 “공격력”을 나타냅니다.
방어력 계산 방법
또한 평균 팀이 실점한 평균 골 수도 필요합니다. 홈 팀이 득점한 골은 원정 팀의 실점 골과 동일하므로 위 수치를 반대로 하면 됩니다.
- 홈 경기에서 실점한 평균 골 수: 1.207
- 원정 경기에서 실점한 평균 골 수: 1.492
팀의 평균과 리그 평균 비율이 팀의 “방어력”을 나타냅니다.
위 숫자를 사용해서 2017년 3월 1일 당시의 Tottenham Hotspur와 Everton의 공격력과 방어력을 계산할 수 있습니다.
실제 적용 사례
Tottenham Hotspur의 골 예측
Tottenham의 공격력 계산: (35/19) / (567/380) = 1.235
- 1단계: 홈 팀이 지난 시즌 홈 경기에서 득점한 골 개수를 취합(Tottenham: 35)하여 홈 게임 수로 나누면(35/19) 1.842가 나옵니다.
- 2단계: 이 값을 게임당 득점한 시즌 평균 홈 경기 골(1.842/1.492)로 나누어 “공격력”을 산출하면 1.235이 됩니다.
Everton의 방어력 계산: (25/19) / (567/380) = 0.881
- 1단계: 지난 시즌 원정 팀이 원정 경기에서 실점한 골 수를 취합(Everton: 25)하여 원정 경기 수로 나누면(25/19) 1.315이 나옵니다.
- 2단계: 이 값을 경기당 원정 팀이 실점한 시즌 평균 골 수(1.315/1.492)로 나누어 “방어력”을 산출하면 0.881이 됩니다.
이제 다음 공식을 이용해서 Tottenham의 골 득점 확률을 계산할 수 있습니다(Tottenham의 공격력 x Everton의 방어력 x Premier League의 평균 홈 경기 골 수).
1.235 x 0.881 x 1.492 = 1.623
Everton의 골 예측
Everton의 골 득점 수를 계산하려면 단순하게 위 공식을 사용하되 평균 홈 경기 골 수를 평균 원정 경기 골 수로 대체합니다.
Everton의 공격력: (24/19) / (459/380) = 1.046
Tottenham의 방어력: (15/19) / (459/380) = 0.653
Tottenham의 골 득점 확률을 계산했던 것과 같이 Everton의 골 득점 확률도 계산할 수 있습니다(Everton의 공격력 x Tottenham의 방어력 x Premier League의 평균 원정 경기 골 수).
1.046 x 0.653 x 1.207 = 0.824
푸아송 분포 – 복수의 결과 예측
물론 1.623 대 0.824로 끝나는 경기는 없습니다. 이 수치는 단순히 평균을 나타냅니다. 프랑스 수학자 시메옹 드니 푸아송이 만든 공식인 푸아송 분포를 사용하면 이러한 데이터로 총 100%의 확률을 각 팀의 다양한 골 결과 범위로 분산되도록 만들 수 있습니다.
푸아송 분포 공식: P(x; μ) = (e-μ) (μx) / x!
하지만 실제 계산은 푸아송 분포 계산기 등의 온라인 도구를 사용하면 방정식의 대부분을 알아서 계산해줍니다.
여러 경기 결과만 입력하면 됩니다. 이 경우 득점 결과를 0~5 사이로 입력하고 각 팀 점수인 예상되는 결과를 입력합니다. 예시에서 Tottenham의 평균은 1.623이고 Everton은 0.824이며 계산기가 해당 결과의 득점 확률을 보여줄 것입니다.
Tottenham 대 Everton 경기에 대한 푸아송 분포
| 골 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tottenham | 19.73% | 32.02% | 25.99% | 14.06% | 5.07% | 1.85% |
| Everton | 43.86% | 36.14% | 14.89% | 4.09% | 0.84% | 0.14% |
이 예는 Tottenham이 득점하지 못할 확률이 19.73%, 1골을 득점할 확률이 32.02%, 2골을 득점할 확률이 25.99%임을 보여줍니다. 반면 Everton이 득점하지 못할 확률은 43.86%, 1골을 득점할 확률은 36.14%, 2골을 득점할 확률은 14.89%입니다. 한 팀이 5점을 득점하는 경우가 궁금한가요? 그 확률은 Tottenham은 1.85%이고 Everton은 0.14%이며 두 팀 중 하나가 5골을 득점할 확률은 2%입니다.
수학적으로 모든 점수가 독립적이므로 각 팀의 가장 높은 확률인 결과 도출 시 예상 점수는 1-0이라는 것을 확인할 수 있습니다. 두 확률을 함께 곱하면 1-0 결과에 대한 확률((0.3202*0.4386) =0.1404 또는 14.04%)을 얻을 수 있습니다.
이제 베팅에서 푸아송 분포를 사용해 최종 점수 확률을 계산하는 방법을 알았으니 북메이커 확률과 비교해보고 특히 날씨, 부상, HFA 같은 관련된 요소의 분석을 고려하여 이득을 취할 수 있는 불일치를 찾을 수 있습니다.
예상 확률을 배당률로 전환
위 예를 통해 푸아송 분포 공식을 적용하면 1-1 무승부에 대한 확률이 11.53%(0.3202*0.3614)라는 것을 확인했습니다. 만약 개별 무승부 결과가 아닌 “무승부”의 예상 배당률을 알고 싶다면 어떻게 하면 될까요? 이 경우 각 무승부(즉 0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 등) 확률을 모두 계산해야 합니다.
이렇게 하려면 가능한 모든 무승부 조합의 확률을 간단히 계산하여 모두 더합니다. 그러면 점수와 상관없이 무승부가 될 확률을 알 수 있습니다.
물론, 무승부가 되는 점수의 확률은 실제로는 무한대이지만(가령, 각 팀이 10점씩 득점도 가능) 5-5를 넘어서는 점수로 무승부를 기록할 확률은 지극히 낮으므로 이 모델에서는 그런 희박한 경우를 무시해도 좋습니다.
Tottenham 대 Everton 경기의 예를 사용해서 모든 무승부의 경우의 수를 결합하면 확률을 0.2472 또는 24.72%이고 배당률은 4.05(1/0.2472)가 됩니다.
푸아송 분포의 한계
푸아송 분포는 고려되는 요인이 많지 않은 단순한 예측 모델입니다. 이 모델에는 구단 환경, 경기 상태 등의 선수들의 상황이나 요인, 이적 시장에서 일어나는 각 팀의 변화에 대한 주관적 평가가 전혀 반영되지 않습니다.
그저 어떤 점수가 나올 확률이 높은 지 알려주는 것이죠. 하지만 만약 여러분이 예상하기로 토트넘이 에버튼을 이길 것 같은데 핸디캡 베팅을 걸어서 배당을 더 높이고자 한다면 푸아송 분포로 어떤 점수가 가장 확률이 높은 지 참고를 할 수 있을 것 입니다.